선형대수 01 - 선형대수란?

이번에 계절학기로 선형대수 강의를 듣게 되면서, 강의에서 듣고 배운 것들을 정리해 기록해보고자 합니다.

선형대수란?

선형대수의 사전적 정의를 나무위키에서 찾아보면 덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터공간과 그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는 함수인 선형 사상에 관한 대수학이라고 나옵니다.

지금 와서 돌이켜 생각해보면 선형대수의 모든 것을 담아낸 문장 같다는 생각이 듭니다. 학교에서 강의를 듣기 전에 이 글을 읽었을 때는 무슨 말인지 깝깝하고 감도 안잡혔는데, 다 배우고 난 뒤 풀어서 쓰고 보니까 굉장히 쉬웠던 기억이 나네요.

덧셈과 상수곱 구조를 갖는이라는 말은 선형대수를 공부하면서 쓸 연산은 덧셈과 곱셈이라는 뜻입니다. 이차함수를 보면 제곱이 붙죠? 하지만 여기서는 제곱 같은게 붙지 않고 오로지 1차식, ax+by+c=0ax+by+c=0과 같은 형태의 1차식으로 이루어진 식들만 가지고 연산을 하게 된다는 뜻입니다.

벡터공간 분명 고3 때 분명 벡터를 배웠는데, 벡터공간이라는 말을 들으니 굉장히 멀게만 느껴졌습니다. 하지만 해석해보면 단어 그대로, 벡터들로 이루어진 공간이라는 뜻입니다. 즉, 우리가 배웠던 (1,0,0) 등의 3차원 벡터, (4, 3) 같은 2차원 벡터 등 여러가지 벡터들로 표현할 수 있는 공간을 말합니다. 모든 3차원 벡터로 표현할 수 있는 표현할 수 있는 공간은 3차원 공간이 될 것이고, 모든 2차원 벡터들로 표현할 수 있는 공간은 2차원 평면이 되겠죠.

그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는 함수인 선형 사상 선형 사상이라는 말을 처음 접했을 때 굉장히 멀게 느껴졌었는데 각기 다른 좌표계를 사용하는 두 공간을 연결해주는 방법이라고 생각하면 편합니다. x, y 좌표계에서의 (1, 0)은 y,x 좌표계에서는 (0, 1)이 되겠죠? 어떤 좌표계에서의 좌표를 다른 좌표계에서의 좌표로 표현하기 위해서 변환 작업을 해주는 것을 선형사상, 매핑이라고 이해하시면 쉬울 것 같아요.

어디에 쓰이나?

휴학하고 회사다닐 시절에 어깨 너머로 논문을 몇 편 구경해본 적이 있는데 선형대수를 이해하지 않고 있으면 읽을 수조차 없었습니다. 1학년 공업수학 시간에 교수님꼐서 미분방정식을 안하시고 선형대수를 가르치셨던 바람에 어느 정도 읽을 수는 있었지만, 이런 경험을 하고 나서 언젠가 선형대수를 제대로 공부해봐야 겠다는 생각을 하고 있었고, 이번 계절학기 때 실행에 옮기게 됐습니다. 선형대수는 모든 컴퓨터과학 분야 논문의 기초 지식이 되는 것 같습니다.

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