선형대수 04 - 역행렬과 가우스-조던 기법

역행렬 (Matrix Inverse)

역행렬은 Matrix A가 (n*n) Square Matrix(정방행렬)일때만 정의될 수 있습니다. (물론 그냥 보통의 행렬에서도 Inverse를 정의할 수는 있으나 여기서는 다루지 않습니다.), 임의의 Matrix B에 대해서 AB=BA=InAB = BA = I_n이 되는 Matrix B가 존재할 때, Matrix A가 Invertible하고, B를 A의 Inverse(역행렬)라고 부릅니다.

  • Invertible한 Matrix의 반대말은 Singular이다.
  • Invertible의 동의어로 Non-Singular가 있다.

Inverse 특성

  • 임의의 Matrix A에 Inverse가 존재한다면, A의 Inverse는 Unique하다.
  • Matrix A와 Matrix A의 Inverse의 곱은 단위행렬이다. AA1=InAA^{-1} = I_n

Inverse 구하기

A=[abcd]A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}에서 A가 invertible하기 위해서는 adbc0ad-bc \ne 0이여야 합니다.
A1=1adbc[dbca]A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Inverse의 특성

  • A1A^{-1}이 invertible하면 (A1)1=A(A^{-1})^{-1} = A
  • cAcA is invertible and (cA)1=1cA1(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}
  • (AB)1=B1A1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • ATA^T가 invertible하면 (AT)1=(A1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T => 전치 연산과 Invertible 연산은 교환법칙이 성립
  • AnA^n이 모든 음이 아닌 정수에 대해 invertible하면 (An)1=(A1)n(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n

기본 행렬 (Elementary Matrix)과 Inverse

결론부터 이야기하면 ERO는 invertible합니다. EA=BEA = B라면, EB=A=EEAE^{\prime}B = A = EE^{\prime}A입니다. (여기서 EE^{\prime}EE의 Inverse)

Original ERO와 Inverse ERO

  • Eji:aRi+RjRjE_{ji} : aR_i + R_j \rightarrow R_j, Eji1:aRi+RjRjE_{ji}^{-1} : -aR_i + R_j \rightarrow R_j
  • Pij:RiRjP_{ij} : R_i \longleftrightarrow R_j, Pij:RiRjP{ij} : R_i \longleftrightarrow R_j
  • Eii:aRiRiE_{ii}: aR_i \rightarrow R_i, Eii1:1aRiRiE_{ii}^{-1} : \frac{1}{a} R_i \rightarrow R_i

Elementary Matrix는 Invertible하고, Inverse역시 Elementary Matrix입니다.


Fundamental Theorem of Invertible Matrices

Square Matrix A는 다음 항목들에 대해서 동치(Equivalant)입니다. 즉, 다음 명제들은 모두 서로 필요충분조건입니다.

  • A는 Invertible하다.
  • Ax=bAx = bb(n1)b \in (n * 1)에 대해서 Unique Solution을 가진다.
  • Ax=0Ax = 0은 Trivial Solution(자명해)를 가진다.
  • A의 RREF는 Identity Matrix(단위 행렬)다.
  • A는 Elementary Matrix들의 Product(곱)으로 나타낼 수 있다.

Ek,E1A=InE_k, \cdots E_1 A = I_n
A=(EkE1)1=E11E21Ek1A = (E_k \cdots E_1)^{-1} = E_1^{-1}E_2^{-1}E_k^{-1}


Gauss-Jordan Method

Elementary Matrix를 이용하여 역행렬을 구하는 것은 우리가 어떤 방식으로 역행렬을 구하는지 잘 알려주고 있지만, 현실적으로 적용하기는 어려운 면이 있습니다. 그래서 나온 것이 바로 가우스-조던 기법입니다.

A=[121224133][A:I3]=[121100224010133001][10093/2501051300121/21]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & -3 \end{bmatrix} \\ \\ [A:I_3] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 9 & -3/2 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & -5 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}

Matrix A가 Invertible하다면, A의 RREF는 Identity Matrix가 되므로!! A를 ERO를 통해서 I로 만들어주면, 옆에 Augmented됐던 I는 A의 Inverse가 됩니다.

만약에 Matrix A가 Invertible하지 않으면 Matrix A의 RREF가 I가 되지 않으므로 Inverse를 구할 수 없습니다. 즉, 반드시 하나 이상의 All-zero-row를 갖게 된다. 예시는 아래와 같습니다.

C=[164241125][C:I3][164100089210000111]C = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \\ [C:I_3] \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 6 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -9 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

가우스-조던 기법은 가우스 소거법에 근간을 두고 있음을 알 수 있습니다. 가우스 소거법은 REF를 만드는 것에 중점을 두고 있지만 가우스-조던 기법은 RREF를 만드는 것에 중점을 두고 있다고 볼 수 있습니다.

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